В некоторый момент расстояние между собаками уменьшилось вдвое (с 240 м до 120 м). В этот момент Пушок вдруг увеличил скорость в 2 раза (стал бежать со скоростью \(2p\)), а Клык испугался и повернул назад к Рону. Клык добежал до Рона, сразу развернулся и побежал навстречу Пушку. В результате их очередная встреча произошла в той же точке, где Клык развёрнулся в первый раз (то есть в точке, где расстояние между собаками стало 120 м).

Требуется найти:

• на каком расстоянии (в метрах) от старта Клыка (Рона) находится точка первого разворота;
• на каком расстоянии от старта Пушка эта же точка;
• сколько метров пробежал Пушок к моменту первого разворота Клыка.

Ключевая идея (коротко)

Обозначим время от старта до момента уменьшения дистанции до 120 м как \(t_1\). За это время суммарный сближательный пробег двух собак равен 120 м, то есть \((k+p)t_1=120\). Далее проследим положения и промежутки времени, пока Клык не вернётся и снова не встретится с Пушком — и используем условие, что встреча происходит в той же точке.

Наглядная схема

Схема условно в масштабе; метки — ключевые точки: R — Рон (старт Клыка), H — Гарри (старт Пушка), X — точка, где расстояние стало 120 м и где Клык впервые развернулся.

R (0 м)                                                             H (240 м)
|                                                                   |
K →---------------------------------------------------------------← P

--- В момент t₁ (расстояние 120 м) ---
R                     X (точка разворота, 90 м)                     H
|                     |                                             |
K (90 м) →-----------→•←-------------------------------------------- P (210 м)
                       |
                       ↓
                   здесь расстояние = 120 м

--- Клык бежит обратно к R, Пушок ускорился до 2p ---
R                     X                                            H
|                     |                                            |
K ←-------------------•-------------------------------------------- P →→→

--- Клык добежал до R (момент 2t₁), разворачивается и бежит вправо ---
R                     X                                            H
|                     |                                            |
•→ K -----------------→                                           P →→→→→

--- В момент 3t₁ — встреча снова в точке X (то же место) ---
R                     X                                            H
|                     |                                            |
K →→→→→→→→→→→→→→→→→→→•←←←←←←←←←←←←←←←←←←← P
                      (встреча) — та же X = 90 м от Рона
  

Пошаговое математическое решение

Шаг 1 - уравнение для момента \(t_1\). За время \(t_1\) суммарно собаки сблизились на 120 м: \[ (k+p)t_1 = 120. \tag{1} \]

Шаг 2 - координата точки разворота X. Поскольку Клык стартует в точке 0 (у Рона), его координата в момент \(t_1\) равна \[ x_{\text{X}} = k t_1. \] Аналогично Пушок в этот момент находится в точке \(240 - p t_1\). (Разность даёт 120 м по построению.)

Шаг 3 - движение Клыка к Рону и обратно. Расстояние от X до Рона равно \(k t_1\). Клык бежит назад к Рону со скоростью \(k\), значит время обратного бегства — \(\dfrac{k t_1}{k}=t_1\). Итак, Клык добегает до Рона в момент \(2t_1\), разворачивается и снова достигает точки X через ещё \(t_1\), т.е. в момент \(3t_1\).

Шаг 4 - положение Пушка в момент \(3t_1\). Пушок после момента \(t_1\) бежит со скоростью \(2p\). Он пробегает за время от \(t_1\) до \(3t_1\) расстояние \(2p\cdot 2t_1 = 4p t_1\). Его координата в момент \(3t_1\): \[ x_P(3t_1) = \underbrace{240 - p t_1}_{\text{позиция в }t_1} - 4p t_1 = 240 -5p t_1. \]

По условию встреча в момент \(3t_1\) происходит в точке X, поэтому \[ k t_1 = 240 - 5p t_1. \tag{2} \]

Шаг 5 - решаем систему (1) и (2). Запишем обе: \[ (k+p)t_1 = 120, \qquad (k+5p)t_1 = 240. \] Вычтем первое у второго или решим напрямую: из системы получаем отношение скоростей \[ k = 3p. \]

Тогда \(k+p = 4p\), и из (1) \[ t_1 = \dfrac{120}{k+p} = \dfrac{120}{4p} = \dfrac{30}{p}. \]

Шаг 6 - вычисления расстояний (численно).

• Точка X от старта Клыка (Рона): \(x_{\text{X}} = k t_1 = 3p\cdot\dfrac{30}{p} = 90\ \text{м}.\)
• От старта Пушка (Гарри): \(240 - 90 = 150\ \text{м}.\)
• Пробег Пушка к моменту первого разворота: \(p t_1 = p\cdot\dfrac{30}{p} = 30\ \text{м}.\)

Итог ✅

1. Точка первого разворота Клыка находится в 90 м от места старта Клыка (Рона).
2. Та же точка в 150 м от места старта Пушка (Гарри).
3. К моменту первого разворота Пушок пробежал 30 м.

Задача решена методично: сначала введено время \(t_1\), затем использованы условия движения и равенство точки встречи. Решение простое, но элегантное - хорошая олимпиадная задачка на анализ движений и наглядность.